面试题目：已知函数$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，求其在$x=0$处的泰勒展开式。
答案：首先，函数$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$处的各阶导数如下：
$f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$，$f''(x)=\frac{2(1-3x^2)}{(1+x^2)^3}$，$f'''(x)=\frac{-12x(1+x^2)-2(1-3x^2)x^2}{(1+x^2)^4}$，以此类推。
计算$f(x)$在$x=0$处的各阶导数值：
$f(0)=1$，$f'(0)=0$，$f''(0)=2$，$f'''(0)=0$，以此类推。
根据泰勒展开公式，得到$f(x)$在$x=0$处的泰勒展开式为：
$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots$
代入$f(x)$在$x=0$处的各阶导数值，得到：
$f(x)=1+0x+\frac{2}{2!}x^2+0x^3+\cdots$
即$f(x)=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots$
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