在考研数学三的证明题库中，以下是一道经典题目：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，证明：存在实数 \( \alpha \) 和 \( \beta \)（\( \alpha < \beta \)），使得 \( f'(\alpha) = 0 \) 且 \( f'(\beta) = 0 \)。
解题过程：
1. 求导数：首先，求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
2. 构造辅助函数：设 \( g(x) = f'(x) \)，即 \( g(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
3. 判断单调性：观察 \( g(x) \) 的图像，可以看出 \( g(x) \) 是一个开口向上的抛物线，其顶点为 \( (2, -9) \)。
4. 应用介值定理：由于 \( g(x) \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上连续，根据介值定理，存在 \( \alpha \) 和 \( \beta \)（\( \alpha < \beta \)），使得 \( g(\alpha) = 0 \) 且 \( g(\beta) = 0 \)。
5. 结论：因此，存在实数 \( \alpha \) 和 \( \beta \)（\( \alpha < \beta \)），使得 \( f'(\alpha) = 0 \) 且 \( f'(\beta) = 0 \)。
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