在考研数学三中，证明题通常考察考生对数学概念、定理的深刻理解和灵活运用能力。以下是一个典型的证明题答案示例：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，证明：$f(x)$在实数范围内至少有一个零点。
证明：
首先，我们观察函数$f(x)$在实数范围内的性质。由于$f(x)$是一个三次多项式，我们可以通过求导数来研究其单调性。
求导得：$f'(x) = 3x^2 - 3$。
令$f'(x) = 0$，解得$x = \pm 1$。
当$x < -1$时，$f'(x) > 0$，所以$f(x)$在$(-\infty, -1)$上单调递增；
当$-1 < x < 1$时，$f'(x) < 0$，所以$f(x)$在$(-1, 1)$上单调递减；
当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，所以$f(x)$在$(1, +\infty)$上单调递增。
接下来，我们考虑$f(x)$在$x = -1$和$x = 1$时的函数值：
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3$；
$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$。
由于$f(-1) > 0$且$f(1) < 0$，根据零点定理，$f(x)$在$(-1, 1)$内至少存在一个零点。
综上所述，我们证明了函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$在实数范围内至少有一个零点。
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