在考研数学中，不定积分大题目往往考察考生对积分技巧的掌握程度。以下是一例：
题目：求不定积分 $\int x^3 e^x \, dx$。
解题思路：
1. 观察被积函数 $x^3 e^x$，可以发现 $e^x$ 是一个原函数，而 $x^3$ 是一个多项式，因此可以考虑使用分部积分法。
2. 设 $u = x^3$，则 $du = 3x^2 \, dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
3. 根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，将 $u$、$dv$、$v$、$du$ 代入公式，得到：
$$\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x \, dx$$
4. 对 $\int 3x^2 e^x \, dx$ 再次使用分部积分法，设 $u = 3x^2$，则 $du = 6x \, dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
5. 将 $u$、$dv$、$v$、$du$ 代入分部积分公式，得到：
$$\int 3x^2 e^x \, dx = 3x^2 e^x - \int 6x e^x \, dx$$
6. 对 $\int 6x e^x \, dx$ 再次使用分部积分法，设 $u = 6x$，则 $du = 6 \, dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
7. 将 $u$、$dv$、$v$、$du$ 代入分部积分公式，得到：
$$\int 6x e^x \, dx = 6x e^x - \int 6 e^x \, dx$$
8. 最后，对 $\int 6 e^x \, dx$ 进行直接积分，得到：
$$\int 6 e^x \, dx = 6e^x$$
9. 将以上结果代入原式，得到：
$$\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - (3x^2 e^x - (6x e^x - 6e^x)) = e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C$$
其中，$C$ 为积分常数。
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