【数学考研大题解析模板及答案】
一、线性代数部分
1. 解线性方程组模板：
- 设线性方程组为 \(Ax = b\)，其中 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵，\(b\) 是 \(m\) 维向量。
- 首先判断 \(A\) 的秩 \(r(A)\) 和增广矩阵 \([A|b]\) 的秩 \(r([A|b])\)。
- 若 \(r(A) = r([A|b]) = n\)，则方程组有唯一解。
- 若 \(r(A) = r([A|b]) < n\)，则方程组有无穷多解。
答案示例：解方程组 \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 8 \end{bmatrix}\)。
2. 特征值与特征向量模板：
- 设矩阵 \(A\)，求其特征值 \(\lambda\) 和对应的特征向量。
- 解方程 \(\det(A - \lambda I) = 0\) 得到特征值。
- 将特征值代入 \((A - \lambda I)v = 0\) 求得特征向量。
答案示例：求矩阵 \(\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) 的特征值和特征向量。
二、概率论与数理统计部分
1. 期望与方差的计算模板：
- 设随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\)，求 \(E(X)\) 和 \(D(X)\)。
- \(E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx\)，\(D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)。
答案示例：求随机变量 \(X\) 服从正态分布 \(N(0,1)\) 的期望和方差。
三、高等数学部分
1. 定积分计算模板：
- 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，求定积分 \(\int_{a}^{b} f(x) dx\)。
- 根据函数的性质选择合适的积分方法，如换元法、分部积分法等。
答案示例：计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} x \sin x dx\)。
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