考研数学十大定理整理如下：
1. 微积分基本定理：若函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，且在开区间(a, b)内可导，则\( f(x) \)在\[a, b\]上的定积分等于\( f(x) \)在\( a \)到\( b \)的变上限积分的值。
2. 洛必达法则：若函数\( f(x) \)和\( g(x) \)在点\( x \)的某邻域内可导，且\( g'(x) \neq 0 \)，当\( x \)趋近于某值\( a \)时，\( f(x) \)和\( g(x) \)均趋近于0或无穷大，则\( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \)。
3. 罗尔定理：若函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，在开区间(a, b)内可导，且\( f(a) = f(b) \)，则至少存在一点\( \xi \in (a, b) \)，使得\( f'(\xi) = 0 \)。
4. 拉格朗日中值定理：若函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点\( \xi \in (a, b) \)，使得\( f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) \)。
5. 柯西中值定理：若函数\( f(x) \)和\( g(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，在开区间(a, b)内可导，且\( g'(x) \neq 0 \)，则存在至少一点\( \xi \in (a, b) \)，使得\( \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)。
6. 泰勒公式：若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)的某邻域内具有\( n \)阶导数，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的泰勒展开式为\( f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) \)。
7. 牛顿-莱布尼茨公式：若函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，在开区间(a, b)内可导，则\( f(x) \)在\[a, b\]上的定积分等于\( f(x) \)在\( a \)到\( b \)的变上限积分的值。
8. 马尔可夫不等式：若随机变量\( X \)和\( Y \)的方差存在，则\( \mathbb{E}[XY] \leq \sqrt{\mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]} \)。
9. 傅里叶级数收敛定理：若函数\( f(x) \)在区间\[a, b\]上连续，在\( a \)和\( b \)处可导，则\( f(x) \)的傅里叶级数在该区间上处处收敛。
10. 欧拉公式：\( e^{ix} = \cos x + i\sin x \)，其中\( i \)是虚数单位。
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