在考研数学的备考过程中，数学分析是至关重要的一个板块。下面我将结合一道典型的数学分析原题，为大家进行详细讲解。
题目：设函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，求$f(x)$在$x = 1$处的左导数和右导数。
解题步骤：
1. 首先观察函数$f(x)$在$x = 1$处的定义。由于分母$x - 1$在$x = 1$时为零，所以$f(x)$在$x = 1$处无定义。
2. 为了求出$f(x)$在$x = 1$处的导数，我们可以利用导数的定义。即：
$$f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$
由于$f(1)$无定义，我们需要将$f(x)$在$x = 1$处的导数表示为左导数和右导数的和。
3. 求左导数：
$$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$
由于$x - 1$在$x = 1$处左侧为负，我们可以将$f(x)$分子中的$x^2 - 1$因式分解为$(x - 1)(x + 1)$，从而得到：
$$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2$$
4. 求右导数：
$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$
由于$x - 1$在$x = 1$处右侧为正，同样利用因式分解，我们得到：
$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2$$
5. 综上所述，$f(x)$在$x = 1$处的左导数和右导数均为2。
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