在探索高中数学考研学霸题目的过程中，我们常常会遇到那些既考验逻辑思维又考验解题技巧的难题。以下是一道典型的考研学霸题目：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求证：对于任意实数$x$，都有$f(x) \geq 2$。
解答思路：
1. 对函数$f(x)$求导，得到$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
3. 分析$f'(x)$的符号，当$x < \frac{2}{3}$或$x > 1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减。
4. 计算$f(\frac{2}{3}) = \frac{20}{27}$，$f(1) = 3$，$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$和$x = 1$处取得极值。
5. 由$f(x)$的单调性和极值，可以得出$f(x)$在实数域上最小值为$f(\frac{2}{3}) = \frac{20}{27}$。
6. 因为$\frac{20}{27} > 2$，所以对于任意实数$x$，都有$f(x) \geq 2$。
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