2022年数学考研题目解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在区间$[0, 2]$上存在极值，则$f'(x) = 0$的解的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
解析：对函数$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$得$x = \pm 1$。由于$x = 1$在区间$[0, 2]$内，因此$f(x)$在$x = 1$处存在极值，故解的个数为1。
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}$的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 无穷大
【答案】B
解析：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = 0$。由洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{1} = -1$。
二、填空题
1. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{1}{x}$。
2. $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$。
三、解答题
1. 已知$f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x - 1}$，求$f(x)$的极值。
【答案】$f(x)$在$x = 1$处取得极小值$f(1) = 0$。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$，令$f'(x) = 0$得$x = 1$。由于$x = 1$是$f(x)$的极值点，且$f(x)$在$x = 1$两侧导数符号不变，故$f(x)$在$x = 1$处取得极小值$f(1) = 0$。
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