关键词：考研、数学一、题目解答
在考研数学一中，一道典型的题目可能是：求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处的泰勒展开式。
解答过程如下：
1. 首先计算$f(x)$在$x=1$处的各阶导数：
$f'(x)=3x^2-6x+4$，
$f''(x)=6x-6$，
$f'''(x)=6$。
2. 然后计算$f(x)$在$x=1$处的函数值和导数值：
$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1=2$，
$f'(1)=3\times1^2-6\times1+4=1$，
$f''(1)=6\times1-6=0$，
$f'''(1)=6$。
3. 根据泰勒展开式，函数$f(x)$在$x=1$处的展开式为：
$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3$
$=2+1(x-1)+0+\frac{6}{6}(x-1)^3$
$=2+(x-1)+(x-1)^3$。
所以，函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处的泰勒展开式为$2+(x-1)+(x-1)^3$。
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