在探索考研零基础数学的征程上，以下是一些精心设计的练习题，助你夯实基础，稳步提升：
1. 若 \( a^2 + b^2 = 25 \) 且 \( ab = 10 \)，求 \( a^3 + b^3 \) 的值。
2. 已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \)，求 \( f'(x) \)。
3. 在直角坐标系中，点 \( A(1,2) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点为 \( B \)，求 \( B \) 的坐标。
4. 已知数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和为 \( S_n = 3n^2 - 2n \)，求 \( a_5 \)。
5. 设 \( x \) 为实数，若 \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)，则 \( x^3 - 8x \) 的值为多少？
6. 若 \( \cos \alpha + \cos \beta = 0 \)，求 \( \sin \alpha + \sin \beta \) 的值。
7. 在三角形 \( ABC \) 中，\( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，求 \( \angle C \) 的度数。
8. 已知 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} \)，求 \( \frac{1}{a^2 + b^2} \) 的值。
9. 若 \( \log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 15 \)，求 \( \log_5 3 \) 的值。
10. 设 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最大值。
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