曲线长度求解在考研数学二中是一项常见的高数题目。假设曲线的方程为 \(y = f(x)\)，且该曲线在区间 \([a, b]\) 上，其长度 \(L\) 可以通过以下公式计算：
\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \]
这个公式是曲线长度积分的基本形式。在解题时，你需要首先对给定的曲线方程进行求导，然后代入公式，计算定积分。具体步骤如下：
1. 确定曲线的方程 \(y = f(x)\) 和区间 \([a, b]\)。
2. 求导数 \(\frac{dy}{dx}\)。
3. 将 \(\frac{dy}{dx}\) 的平方和1相加，再开平方根。
4. 将上述结果代入积分公式，计算定积分。
例如，如果曲线方程是 \(y = \sqrt{x}\)，区间是 \([0, 4]\)，那么解题步骤如下：
1. \(y = \sqrt{x}\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)。
2. 代入公式：\(\sqrt{1 + \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4x}}\)。
3. 计算定积分：\[ L = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} \, dx \]
最后，通过计算得出曲线的长度 \(L\)。
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