题目：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，且对于任意$n\in \mathbb{N}^*$，有$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+2}$，求$\lim_{n\to\infty}a_n$。
解题过程：
Step 1：观察数列$\{a_n\}$的定义，可以发现$a_n$的值随着$n$的增加而增加，即数列$\{a_n\}$是单调递增的。
Step 2：由于$a_n$是单调递增的，因此可以考虑使用夹逼准则来求解极限。
Step 3：根据数列的定义，有$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+2}$，两边同时平方得$a_{n+1}^2=a_n^2+2$。
Step 4：对上式进行变形，得$a_{n+1}^2-2=a_n^2$。
Step 5：将上式代入$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+2}$，得$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+2}=2-\frac{2}{a_n}$。
Step 6：将$a_{n+1}$的表达式代入$a_{n+1}^2-2=a_n^2$，得$(2-\frac{2}{a_n})^2-2=a_n^2$。
Step 7：展开并整理上式，得$4-\frac{8}{a_n}+\frac{4}{a_n^2}-2=a_n^2$。
Step 8：将上式两边同时乘以$a_n^2$，得$4a_n^2-8a_n+4=4a_n^4$。
Step 9：移项并整理，得$4a_n^4-4a_n^2+8a_n-4=0$。
Step 10：令$t=a_n^2$，则上式变为$4t^2-4t+8t-4=0$。
Step 11：化简得$4t^2+4t-4=0$。
Step 12：将上式除以4，得$t^2+t-1=0$。
Step 13：使用求根公式，得$t=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
Step 14：由于$t=a_n^2$，且$a_n$是单调递增的，因此$t$的取值应为正数，所以$t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
Step 15：将$t$的值代回$a_n^2$，得$a_n^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
Step 16：由于$a_n$是单调递增的，因此$a_n$的取值应为正数，所以$a_n=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$。
Step 17：求极限$\lim_{n\to\infty}a_n$，得$\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$。
答案：$\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$。
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