在25考研数学一考试中，考生们面临的题目涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大板块。以下是对部分题目的详细解答：
1. 高等数学：求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$的极值。
解答：首先求导数$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。再求二阶导数$f''(x)=6x-6$，代入$x_1=1$和$x_2=\frac{2}{3}$，得$f''(1)=-6<0$，$f''(\frac{2}{3})=0$。因此，$x_1=1$是极大值点，$x_2=\frac{2}{3}$是极小值点。计算得$f(1)=2$，$f(\frac{2}{3})=\frac{4}{27}$。
2. 线性代数：设矩阵$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
解答：首先求特征多项式$f(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)(4-\lambda)-6=\lambda^2-5\lambda-2$。令$f(\lambda)=0$，解得$\lambda_1=2$，$\lambda_2=-1$。对于$\lambda_1=2$，解方程组$(A-2I)x=0$，得特征向量$\alpha_1=\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}$；对于$\lambda_2=-1$，解方程组$(A+I)x=0$，得特征向量$\alpha_2=\begin{bmatrix}-2 \\ 1\end{bmatrix}$。
3. 概率论与数理统计：设随机变量$X$服从正态分布$N(0,1)$，求$P(X\leq 0.5)$。
解答：由于$X$服从标准正态分布，查表得$P(X\leq 0.5)=0.6915$。
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