题目：求解不定积分 $\int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx$。
解题过程：
首先，我们尝试对被积函数进行简化。注意到 $\frac{1}{(1+x)^2}$ 可以通过对 $1+x$ 进行微分得到，即 $(1+x)' = 1$。因此，我们可以尝试使用分部积分法。
设 $u = e^x$，则 $du = e^x \, dx$；
设 $dv = \frac{1}{(1+x)^2} \, dx$，则 $v = -\frac{1}{1+x}$。
根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们有：
$$
\int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx = -\frac{e^x}{1+x} - \int -\frac{1}{1+x} \cdot e^x \, dx.
$$
现在，我们需要对 $\int -\frac{1}{1+x} \cdot e^x \, dx$ 进行处理。注意到 $-\frac{1}{1+x}$ 可以通过对 $1+x$ 进行微分得到，即 $(-\frac{1}{1+x})' = \frac{1}{(1+x)^2}$。因此，我们可以再次使用分部积分法。
设 $u = e^x$，则 $du = e^x \, dx$；
设 $dv = \frac{1}{(1+x)^2} \, dx$，则 $v = -\frac{1}{1+x}$。
根据分部积分公式，我们有：
$$
\int -\frac{1}{1+x} \cdot e^x \, dx = -\frac{e^x}{1+x} - \int -\frac{1}{1+x} \cdot e^x \, dx.
$$
将上述结果代入原积分中，得到：
$$
\int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx = -\frac{e^x}{1+x} - \left(-\frac{e^x}{1+x} - \int -\frac{1}{1+x} \cdot e^x \, dx\right).
$$
化简得到：
$$
\int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx = \frac{2e^x}{1+x} + C,
$$
其中 $C$ 为积分常数。
最终答案为 $\frac{2e^x}{1+x} + C$。
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