2014年考研数学中，若给定两个函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)和\( g(x) = dx^2 + ex + f \)，要求\( ab \)的解析解，首先需判断这两个函数是否具有相同的根。假设它们有共同根\( x_0 \)，则可以列出以下方程组：
\[
\begin{cases}
a x_0^2 + b x_0 + c = 0 \\
d x_0^2 + e x_0 + f = 0
\end{cases}
\]
通过消元法，我们可以解出\( x_0 \)的值。然后将\( x_0 \)代入任一方程中，解出\( a \)和\( b \)的关系。最终，\( ab \)的值将依赖于\( x_0 \)的解。
具体求解步骤如下：
1. 从第一个方程中解出\( c \)：
\[ c = -a x_0^2 - b x_0 \]
2. 将\( c \)代入第二个方程，得到关于\( a \)和\( b \)的方程：
\[ d x_0^2 + e x_0 + f = -a x_0^2 - b x_0 \]
3. 整理方程，得到\( a \)和\( b \)的关系：
\[ (a + d)x_0^2 + (b + e)x_0 + (f - c) = 0 \]
4. 解出\( x_0 \)，然后代入\( c \)的表达式，得到\( c \)的值。
5. 最后，根据\( x_0 \)和\( c \)的值，确定\( ab \)的具体数值。
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