在英语专业考研的数学复习中，以下是一道典型的练习题，旨在帮助考生熟悉考研数学的基本题型和解题技巧：
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题目：若函数 \( f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \)，求 \( f(x) \) 的极值点和拐点。
解题过程：
1. 求导数：首先求出 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) \) 和二阶导数 \( f''(x) \)。
\[
f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + 2
\]
\[
f''(x) = 3x - 6
\]
2. 求极值点：令 \( f'(x) = 0 \)，解方程得到可能的极值点。
\[
\frac{3}{2}x^2 - 6x + 2 = 0
\]
通过求解二次方程，得到 \( x = 1 \) 和 \( x = \frac{2}{3} \)。
3. 判断极值类型：计算 \( f''(x) \) 在极值点的值，以确定极值类型。
\[
f''(1) = -3 \quad (\text{极小值})
\]
\[
f''\left(\frac{2}{3}\right) = -1 \quad (\text{极大值})
\]
4. 求拐点：令 \( f''(x) = 0 \)，解方程得到可能的拐点。
\[
3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2
\]
再次计算 \( f''(x) \) 在拐点处的值，确认拐点类型。
\[
f''(2) = 0 \quad (\text{拐点})
\]
综上所述，\( x = 1 \) 是极小值点，\( x = \frac{2}{3} \) 是极大值点，\( x = 2 \) 是拐点。
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