1. 题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{x^2}$。
解答：利用洛必达法则，先对分子和分母分别求导，得到：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{3\cos(3x) - 3}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3(1 - \sin^2(3x))}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3(1 - (1 - 9x^2/2 + O(x^4)))}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{27x^2/2}{2x} = \frac{27}{4}.
\]
2. 题目：计算 $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2}$。
解答：将表达式转化为指数形式，利用极限的性质，得到：
\[
\lim_{x \to \infty} e^{\ln\left(\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2}\right)} = \lim_{x \to \infty} e^{x^2\ln\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = e^{\lim_{x \to \infty} x^2\ln\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}.
\]
由于 $\ln\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) \approx \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln(x)$，因此：
\[
\lim_{x \to \infty} x^2(-\ln(x)) = 0.
\]
所以原极限为 $e^0 = 1$。
3. 题目：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x) - x}{x^3}$。
解答：使用泰勒展开，$\tan(x) \approx x + \frac{x^3}{3}$，代入原式得到：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^3}{3} - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3/3}{x^3} = \frac{1}{3}.
\]
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