在考研数学的证明与计算中，以下是一个典型的题目解答：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x - 1} \)，证明 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处连续，并求出 \( f(1) \) 的值。
解答：
首先，我们要证明 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处连续。根据连续的定义，我们需要证明 \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)\)。
1. 计算 \( f(1) \)：
\[ f(1) = \frac{1^3 - 3 \cdot 1 + 2}{1 - 1} = \frac{0}{0} \]
由于出现了不定式，我们使用洛必达法则来计算：
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 3}{1} = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0 \]
2. 计算 \(\lim_{x \to 1} f(x)\)：
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x - 1} = 0 \]
由于 \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)\)，因此 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处连续。
总结：通过洛必达法则，我们证明了 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处连续，并计算得出 \( f(1) = 0 \)。
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