在数学考研题的海洋中，每一位考生都渴望着找到那把开启成功之门的钥匙。以下是一道经典的数学考研题目及其答案解析：
题目： 若函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a \) 在 \( x = 1 \) 处有极值，求常数 \( a \) 的值。
解题过程：
1. 求导数： 首先对函数 \( f(x) \) 求一阶导数，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 求驻点： 将 \( f'(x) \) 设为 0，解得 \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \)。化简后得 \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)，进一步分解为 \( (x-1)(x-3) = 0 \)。所以驻点为 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \)。
3. 二阶导数检验： 对 \( f(x) \) 求二阶导数，得到 \( f''(x) = 6x - 12 \)。将 \( x = 1 \) 代入 \( f''(x) \)，得 \( f''(1) = -6 \)，因为 \( f''(1) < 0 \)，所以 \( x = 1 \) 处是极大值点。
4. 求 \( a \) 的值： 因为 \( x = 1 \) 是极值点，将 \( x = 1 \) 代入原函数 \( f(x) \)，得 \( f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + a = 4 + a \)。由于 \( x = 1 \) 是极大值点，\( f(1) \) 应该是函数的最大值。由于 \( f(x) \) 是一个三次函数，且 \( x = 1 \) 不是端点，我们可以假设 \( a \) 的值为 -4，这样 \( f(1) = 0 \)。
答案： 常数 \( a \) 的值为 -4。
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