在考研数学中，零点定理是一个重要的概念。假设函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，且在开区间(a, b)内可导，若\( f(a) \)和\( f(b) \)异号，即\( f(a) \cdot f(b) < 0 \)，则至少存在一点\( \xi \in (a, b) \)，使得\( f'(\xi) = 0 \)。以下是一个关于零点定理的考研数学题目：
题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求证：在区间\[ -1, 2 \]上，至少存在一点\( \xi \)，使得\( f'(\xi) = 0 \)。
解答过程：
1. 首先判断函数\( f(x) \)在闭区间\[ -1, 2 \]上的连续性和可导性。由于\( f(x) \)是多项式函数，它在实数域内处处连续且可导。
2. 计算\( f(-1) \)和\( f(2) \)的值。\( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4 \)，\( f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 2 = 2 \)。
3. 由于\( f(-1) \cdot f(2) = 4 \cdot 2 = 8 > 0 \)，说明\( f(-1) \)和\( f(2) \)同号。
4. 再计算\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，求导函数在区间\[ -1, 2 \]上的值。\( f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 0 \)，\( f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 3 = 9 \)。
5. 由于\( f'(-1) = 0 \)，根据零点定理，至少存在一点\( \xi \in (-1, 2) \)，使得\( f'(\xi) = 0 \)。
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