在安徽师范大学的考研数学题目中，考生需要面对的是一系列涵盖高等数学、线性代数和概率论与数理统计的综合性题目。这些题目旨在考察学生对基础知识的掌握程度以及运用知识解决实际问题的能力。以下是一道可能出现在安徽师范大学考研数学试题中的原创例题：
例题：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在区间 \([-1,1]\) 上连续，且在 \((0,1)\) 内可导。证明：存在 \(\xi \in (0,1)\)，使得 \( f'(\xi) = -\frac{1}{\xi^2} \)。
解题过程：
1. 首先对 \( f(x) \) 进行求导，得到 \( f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \)。
2. 设 \( F(x) = f(x) + \frac{1}{x^2} \)，则 \( F'(x) = f'(x) - \frac{2}{x^3} \)。
3. 计算 \( F(-1) \) 和 \( F(1) \)，由于 \( f(x) \) 在 \([-1,1]\) 上连续，所以 \( F(x) \) 在 \([-1,1]\) 上也连续。
4. 由于 \( F(-1) = \frac{1}{1+1^2} + \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \) 和 \( F(1) = \frac{1}{1+1^2} + \frac{1}{1^2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \)，可以看出 \( F(-1) = F(1) \)。
5. 根据罗尔定理，存在 \(\xi \in (-1,1)\) 使得 \( F'(\xi) = 0 \)。
6. 由 \( F'(\xi) = f'(\xi) - \frac{2}{\xi^3} = 0 \) 得到 \( f'(\xi) = \frac{2}{\xi^3} \)，由于 \(\xi \in (0,1)\)，所以 \( f'(\xi) = -\frac{1}{\xi^2} \)。
通过以上步骤，我们证明了在区间 \((0,1)\) 内存在 \(\xi\)，使得 \( f'(\xi) = -\frac{1}{\xi^2} \)。
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