2024考研数学一第13题解析如下：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$在区间$[-1, 2]$上的最大值和最小值。
解析：
1. 首先求出$f(x)$的导数：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
3. 检查$f'(x)$在$x = -1, 1, \frac{2}{3}, 2$时的正负，发现$f'(x)$在$x = -1$和$x = 2$时为正，在$x = 1$和$x = \frac{2}{3}$时为负。
4. 因此，$f(x)$在$x = -1$和$x = 2$时取得局部极大值，在$x = 1$和$x = \frac{2}{3}$时取得局部极小值。
5. 计算$f(-1) = -1, f(1) = 3, f(\frac{2}{3}) = \frac{19}{27}, f(2) = 3$。
6. 综上，$f(x)$在区间$[-1, 2]$上的最大值为$3$，最小值为$-1$。
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