在处理考研数学二中的二重积分题目时，关键在于巧妙地选择积分顺序和区域。以下是一个典型的二重积分题目及其解答：
题目：计算二重积分 \(\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy\)，其中 \(D\) 是由 \(x^2 + y^2 = 4\) 且 \(x \geq 0\) 所围成的区域。
解答：
首先，观察积分区域 \(D\)，它是一个半径为2的圆的四分之一。为了简化计算，我们可以选择先对 \(x\) 积分，再对 \(y\) 积分。
1. 将 \(x^2 + y^2 = 4\) 转化为极坐标方程，得 \(r = 2\)。因为 \(x \geq 0\)，积分范围为 \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)，\(0 \leq r \leq 2\)。
2. 将原二重积分转换为极坐标下的积分：
\[
\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^2 (r^2) r \, dr \, d\theta
\]
3. 对 \(r\) 进行积分：
\[
\int_0^2 r^3 \, dr = \frac{r^4}{4} \Big|_0^2 = \frac{16}{4} = 4
\]
4. 对 \(\theta\) 进行积分：
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}
\]
5. 将两个积分结果相乘得到最终答案：
\[
\frac{\pi}{2} \times 4 = 2\pi
\]
因此，该二重积分的结果为 \(2\pi\)。
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