在考研数学中，旋转体体积的计算是一个经典且重要的题型。以下是一个关于旋转体体积的真题示例：
真题示例：
“已知曲线 \( y = x^2 \) 在区间 \([0, 1]\) 上绕x轴旋转，求所形成的旋转体的体积。”
解题思路：
1. 确定旋转轴和旋转曲线：本题中，旋转轴为x轴，旋转曲线为 \( y = x^2 \)。
2. 计算微元体积：对于曲线 \( y = x^2 \) 上的任意一点 \( (x, y) \)，其微元体积 \( dV \) 可以表示为 \( \pi y^2 dx \)。将 \( y = x^2 \) 代入，得 \( dV = \pi x^4 dx \)。
3. 积分计算：将微元体积 \( dV \) 在区间 \([0, 1]\) 上积分，即可得到旋转体的体积 \( V \)：
\[
V = \int_0^1 \pi x^4 dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{\pi}{5}
\]
总结：
通过以上步骤，我们成功计算出了旋转体的体积。考研数学中关于旋转体体积的计算，关键在于正确理解旋转轴、旋转曲线以及微元体积的表达式，然后进行积分求解。
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