福师大的数学考研试题历来以其严谨和深度著称，以下是对其典型试题的原创解析：
1. 解析几何问题：
- 试题：设直线\(l\)与抛物线\(y^2=2px\)相切于点\(P(x_0, y_0)\)，若\(l\)的斜率为\(-\frac{1}{2}\)，求抛物线的焦点坐标。
- 解析：首先，根据切线斜率与抛物线导数的关系，我们有\(y' = \frac{dy}{dx} = \frac{p}{y}\)。在切点\(P(x_0, y_0)\)，\(y' = -\frac{1}{2}\)，因此\(y_0 = -2p\)。将\(y_0\)代入抛物线方程，解得\(x_0 = 2p\)。抛物线的焦点坐标为\((\frac{p}{2}, 0)\)，代入\(x_0 = 2p\)，得焦点为\((1, 0)\)。
2. 高等数学问题：
- 试题：已知函数\(f(x) = e^{x^2}\)在\(x=0\)处取得极小值，求\(f(x)\)在区间\([-1, 1]\)上的最大值。
- 解析：首先，求导得\(f'(x) = 2xe^{x^2}\)。令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = 0\)。检查\(f''(x) = 2e^{x^2}(1 + 4x^2)\)在\(x=0\)处的符号，得知\(x=0\)是极小值点。计算端点值，得\(f(-1) = \frac{1}{e}\)，\(f(1) = e\)。因此，最大值为\(e\)。
3. 线性代数问题：
- 试题：设矩阵\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求\(A\)的特征值和特征向量。
- 解析：求特征多项式\(\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2\)。解得特征值\(\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1\)。对应特征向量分别为\(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)。
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