在数学分析的考研备考过程中，掌握以下关键定理笔记对于理解和应用是非常重要的：
1. 极限存在定理：若函数在闭区间上连续，则在该区间内必存在极限值。
2. 最大最小值定理：若函数在闭区间上连续，则在该区间内必能取到最大值和最小值。
3. 中值定理：
- 罗尔定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点的函数值相等，则在开区间内至少存在一点，使得导数为零。
- 拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在开区间内至少存在一点，使得函数增量与自变量增量之比等于函数的导数。
- 柯西中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得函数增量之比等于导数的比。
4. 罗比塔定理：若函数在x=c附近连续，且lim(x→c)f(x)=0，g(x)≠0，且lim(x→c)g'(x)≠0，则
lim(f(x)/g(x)) = lim(f'(x)/g'(x))。
5. 泰勒公式：若函数在某点可导，则在任意一点，函数值可以用其在该点的值及各阶导数在一点的值表示为一个多项式加上一个无穷小量。
6. 介值定理：若函数在闭区间上连续，且两端点函数值异号，则至少存在一点，使得函数值等于两端点函数值之间的任意值。
7. 级数收敛定理：
- 比较判别法：若正项级数满足a_n ≤ b_n，且b_n为收敛级数，则a_n也为收敛级数。
- 比例判别法：若正项级数满足lim(n→∞)a_n/b_n = L，则当L < 1时级数收敛，L > 1时级数发散。
- 根值判别法：若正项级数满足lim(n→∞)√[a_n] = L，则当L < 1时级数收敛，L ≥ 1时级数发散。
备考数学分析时，建议多练习，熟练掌握这些定理的应用，这对于应对考研数学分析题目至关重要。
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