在考研数学中，弧长和表面积的公式是解决曲面几何问题的重要工具。弧长公式如下：
1. 对于平面曲线弧长，若曲线由参数方程 \( x = x(t) \)，\( y = y(t) \) 描述，其中 \( a \leq t \leq b \)，则弧长 \( s \) 的计算公式为：
\[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]
2. 对于空间曲线弧长，若曲线由参数方程 \( x = x(t) \)，\( y = y(t) \)，\( z = z(t) \) 描述，其中 \( a \leq t \leq b \)，则弧长 \( s \) 的计算公式为：
\[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt \]
表面积公式如下：
1. 对于平面图形，若平面图形的方程为 \( z = f(x, y) \)，且 \( f(x, y) \) 在区域 \( D \) 上连续，则平面图形的表面积 \( S \) 的计算公式为：
\[ S = \iint_{D} \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy \]
2. 对于空间曲面，若空间曲面的方程为 \( z = f(x, y) \)，且 \( f(x, y) \) 在区域 \( D \) 上连续，则空间曲面的表面积 \( S \) 的计算公式为：
\[ S = \iint_{D} \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy \]
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