考研数学中的二次型公式，主要涉及二次型的标准形、特征值与特征向量等内容。二次型公式如下：
1. 二次型的标准形：设二次型 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \ldots + 2a_{n1}x_1x_n + \ldots + 2a_{nn}x_nx_n \)，其中 \( a_{ij} \) 是实数，则存在可逆矩阵 \( P \)，使得 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 化为标准形 \( y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_k^2 - y_{k+1}^2 - \ldots - y_n^2 \)。
2. 特征值与特征向量：设二次型 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 的矩阵为 \( A \)，则 \( A \) 的特征值 \( \lambda \) 和对应的特征向量 \( \alpha \) 满足 \( A\alpha = \lambda\alpha \)。
3. 完全平方公式：设二次型 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 可以表示为 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n a_iy_i^2 \)，则称 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 为完全平方型。
4. 二次型正定：设二次型 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 的矩阵为 \( A \)，若 \( A \) 的所有特征值均大于零，则称 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 为正定二次型。
5. 二次型负定：设二次型 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 的矩阵为 \( A \)，若 \( A \) 的所有特征值均小于零，则称 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 为负定二次型。
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