在考研数学中，微分方程是重要的组成部分。以下是一些常见的微分方程公式及其应用：
1. 可分离变量的微分方程：
\[
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \quad \Rightarrow \quad \int g(y) dy = \int f(x) dx + C
\]
这种方法适用于当变量可以分离时，即 \( y \) 和 \( x \) 的函数形式可以分开。
2. 一阶线性微分方程：
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
\]
其通解为：
\[
y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right)
\]
3. 伯努利方程：
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n
\]
通过变量替换 \( v = y^{1-n} \) 可以转化为线性微分方程。
4. 齐次线性微分方程：
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0
\]
其通解为：
\[
y = Ce^{-\int P(x)dx}
\]
5. 微分方程的常数变易法：
对于形式为 \( y' + P(x)y = Q(x) \) 的方程，先求出其齐次解 \( y_h = Ce^{-\int P(x)dx} \)，然后设 \( y = u(x)e^{-\int P(x)dx} \)，代入原方程求解 \( u(x) \)。
6. 二阶常系数线性微分方程：
\[
y'' + Py' + Qy = 0
\]
解的形式取决于特征方程 \( r^2 + Pr + Q = 0 \) 的根。
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