在解决考研数学二的不定积分问题时，以下是一个典型例题及其解答：
例题：计算不定积分 $\int x^3 e^x \, dx$。
解答：
首先，我们使用分部积分法，设 $u = x^3$，则 $du = 3x^2 \, dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们有：
$$
\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x \, dx
$$
接着，再次使用分部积分法求解 $\int 3x^2 e^x \, dx$，设 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
继续应用分部积分公式：
$$
\int 3x^2 e^x \, dx = 3x^2 e^x - \int 6x e^x \, dx
$$
再次使用分部积分法求解 $\int 6x e^x \, dx$，设 $u = x$，则 $du = dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
应用分部积分公式：
$$
\int 6x e^x \, dx = 6x e^x - \int 6 e^x \, dx
$$
计算 $\int 6 e^x \, dx$ 得到 $6e^x$，因此：
$$
\int 6x e^x \, dx = 6x e^x - 6e^x
$$
将这个结果代回前面的积分中，我们得到：
$$
\int 3x^2 e^x \, dx = 3x^2 e^x - (6x e^x - 6e^x) = 3x^2 e^x - 6x e^x + 6e^x
$$
最后，将这个结果代回原始的不定积分中：
$$
\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - (3x^2 e^x - 6x e^x + 6e^x) = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C
$$
其中 $C$ 是积分常数。这就是 $\int x^3 e^x \, dx$ 的解。
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