例题1：
题目：设函数 \( f(x) = e^{x^2} \)，求 \( f''(x) \)。
解答：
首先，我们需要找到 \( f'(x) \)，即 \( f(x) \) 的一阶导数。由于 \( f(x) = e^{x^2} \)，我们可以使用链式法则：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2xe^{x^2} \]
接下来，求 \( f''(x) \)，即 \( f'(x) \) 的导数：
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(2xe^{x^2}) \]
这里再次使用乘积法则和链式法则：
\[ f''(x) = 2e^{x^2} + 2xe^{x^2} \cdot 2x = 2e^{x^2}(1 + 4x^2) \]
例题2：
题目：若 \( \int_0^1 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = A \)，求 \( A \)。
解答：
要求解这个定积分，我们可以分别计算每个多项式的积分：
\[ \int_0^1 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = [x^3]_0^1 = 1 - 0 = 1 \]
\[ \int_0^1 -4x \, dx = -4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = -4 \left[ \frac{1}{2} - 0 \right] = -2 \]
\[ \int_0^1 1 \, dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1 \]
将这三个积分结果相加得到 \( A \)：
\[ A = 1 - 2 + 1 = 0 \]
例题3：
题目：证明 \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \ldots \right) = 0 \)。
解答：
这个极限是一个无穷级数的和。我们可以将其视为一个几何级数：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^n} \]
几何级数的求和公式为 \( S = \frac{a}{1 - r} \)，其中 \( a \) 是首项，\( r \) 是公比。在这个例子中，首项 \( a = \frac{1}{x} \)，公比 \( r = \frac{1}{x} \)。当 \( x \to \infty \) 时，\( r \to 0 \)，所以级数的和趋近于：
\[ S = \frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{x - 1} \]
因此，当 \( x \to \infty \) 时，\( \frac{1}{x - 1} \to 0 \)。所以，
\[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \ldots \right) = 0 \]
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