考研数学高数课本例题讲解如下：
一、例题一：已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f'(x)$。
解答过程：
1. 首先求$f(x)$的导数，使用导数公式$x^n$的导数为$nx^{n-1}$，得到$f'(x)=3x^2-3$。
2. 然后将$x=0$代入$f'(x)$，得到$f'(0)=3\times0^2-3=-3$。
二、例题二：求极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$。
解答过程：
1. 使用洛必达法则，分子分母同时求导，得到$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x}{1}$。
2. 将$x=0$代入上式，得到$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x}{1}=\frac{\cos 0}{1}=1$。
三、例题三：设$a>0$，证明不等式$\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\cdots+\frac{1}{a^n}\geq\frac{n}{a^n}$。
解答过程：
1. 使用数学归纳法证明。
（1）当$n=1$时，不等式左边为$\frac{1}{a}$，右边为$\frac{1}{a}$，不等式成立。
（2）假设当$n=k$时不等式成立，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\cdots+\frac{1}{a^k}\geq\frac{k}{a^k}$。
（3）当$n=k+1$时，不等式左边为$\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\cdots+\frac{1}{a^k}+\frac{1}{a^{k+1}}$，右边为$\frac{k+1}{a^{k+1}}$。
（4）将假设的不等式两边同时加上$\frac{1}{a^{k+1}}$，得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}+\cdots+\frac{1}{a^k}+\frac{1}{a^{k+1}}\geq\frac{k}{a^k}+\frac{1}{a^{k+1}}$。
（5）由等比数列求和公式，可得$\frac{k}{a^k}+\frac{1}{a^{k+1}}=\frac{k+1}{a^{k+1}}$。
（6）因此，当$n=k+1$时不等式也成立。
综上所述，原不等式得证。
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