例题一：已知函数 \( f(x) = e^{x^2} \)，求 \( f'(x) \)。
解答：对 \( f(x) \) 求导，使用链式法则，得到
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}。 \]
例题二：设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，
\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2。 \]
解方程 \( \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \)，得到特征值 \( \lambda_1 = -1 \) 和 \( \lambda_2 = 6 \)。
对于 \( \lambda_1 = -1 \)，解方程组 \( (A + I)x = 0 \)，
\[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}， \]
得到特征向量 \( \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 6 \)，解方程组 \( (A - 6I)x = 0 \)，
\[ \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}， \]
得到特征向量 \( \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
例题三：设 \( \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) \, dx \) 的值是多少？
解答：计算定积分，
\[ \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \right) - (0) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{3} - \frac{9}{6} + \frac{12}{6} = \frac{5}{6}。 \]
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