三峡大学考研数学题目涉及广泛，既有对基础知识的应用，也有对高等数学理论深度的考察。以下是一道模拟题目，旨在检验考生对线性代数知识的掌握：
题目：
设矩阵 \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解题过程：
首先，求矩阵 \(A\) 的特征多项式：
\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{vmatrix} \]
通过行变换简化计算：
\[ \rightarrow \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & -2 \\ 0 & -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \]
\[ \rightarrow (1-\lambda)\begin{vmatrix} 1-\lambda & -2 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \]
\[ \rightarrow (1-\lambda)((1-\lambda)(2-\lambda) - 2) \]
\[ \rightarrow \lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 \]
设特征多项式为0，求解特征值：
\[ \lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0 \]
经过因式分解，得：
\[ (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0 \]
因此，特征值为 \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = 2\), \(\lambda_3 = 3\)。
接下来，分别求对应于这三个特征值的特征向量：
1. 当 \(\lambda = 1\) 时，解方程组 \((A - I)x = 0\)：
\[ \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
得到特征向量 \(x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
2. 当 \(\lambda = 2\) 时，解方程组 \((A - 2I)x = 0\)：
\[ \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 6 \\ 7 & 8 & 5 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
得到特征向量 \(x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
3. 当 \(\lambda = 3\) 时，解方程组 \((A - 3I)x = 0\)：
\[ \begin{bmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
得到特征向量 \(x_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}\)。
综上，三峡大学考研数学题中，此类线性代数问题的解题过程大致如此。想要更多样化的题目和系统性的学习，欢迎下载使用【考研刷题通】小程序，这里有政治刷题，英语刷题，数学等全部考研科目，助你考研一臂之力。【考研刷题通】——考研路上的得力助手！