在数学三的考研题目中，关于映射与函数的部分，以下是一道原创的典型题目：
题目：设集合 \( A = \{1, 2, 3, 4\} \)，集合 \( B = \{a, b, c\} \)，定义映射 \( f: A \rightarrow B \) 如下：
\[ f(1) = a, \quad f(2) = b, \quad f(3) = c, \quad f(4) = a \]
（1）求映射 \( f \) 的像集 \( f(A) \)；
（2）判断映射 \( f \) 是否为单射（一一映射）和满射（映射到每个元素）；
（3）若将映射 \( f \) 中的 \( f(1) \) 和 \( f(3) \) 互换，得到新的映射 \( f' \)，分析 \( f' \) 是否为双射（既是单射也是满射）。
解答：
（1）映射 \( f \) 的像集 \( f(A) \) 是 \( B \)，因为 \( f \) 将 \( A \) 中的每个元素都映射到了 \( B \) 中的某个元素上。
（2）映射 \( f \) 不是单射，因为 \( f(1) = f(4) = a \)，存在不同的 \( x_1 \neq x_2 \) 使得 \( f(x_1) = f(x_2) \)。同时，\( f \) 也不是满射，因为 \( B \) 中的元素 \( c \) 没有对应的原像。
（3）新的映射 \( f' \) 将 \( f(1) \) 和 \( f(3) \) 互换，即 \( f'(1) = c, f'(2) = b, f'(3) = a, f'(4) = c \)。映射 \( f' \) 同样不是单射，因为 \( f'(1) = f'(4) = c \)。但 \( f' \) 是满射，因为 \( B \) 中的每个元素 \( a, b, c \) 都有对应的原像。
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