在考研数学的征途上，公式是战士的剑，战术的盾。以下是醒脑篇的必备公式手册，助你披荆斩棘，勇攀高峰：
1. 微积分基本定理：\( \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \)，其中 \( F(x) \) 是 \( f(x) \) 的一个原函数。
2. 洛必达法则：当 \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \) 形式为 \( \frac{0}{0} \) 或 \( \frac{\infty}{\infty} \) 时，若 \( \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) 存在，则 \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \)。
3. 线性方程组克莱姆法则：若 \( Ax = b \) 是非齐次线性方程组，其中 \( A \) 是 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A \) 的行列式 \( \Delta \neq 0 \)，则方程组有唯一解 \( x = A^{-1}b \)。
4. 二重积分变换：若 \( x = x(u, v) \)，\( y = y(u, v) \) 是 \( D: x_0 \leq x \leq x_1, y_0 \leq y \leq y_1 \) 上的参数方程，则 \( \iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \iint_D f(x(u, v), y(u, v)) |J| \, du \, dv \)，其中 \( J = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \)。
5. 概率论中的期望值公式：\( E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X = x_i) \)，其中 \( X \) 是离散随机变量。
6. 线性空间维数定理：若 \( V \) 是一个 \( n \) 维线性空间，\( W \) 是 \( V \) 的一个子空间，且 \( \dim(W) = k \)，则 \( \dim(W^{\perp}) = n - k \)。
7. 矩阵的秩定理：若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( r(A) = r(B) \)，则 \( \text{rank}(A) = \text{rank}(B) \)。
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