在98年考研数学中，第一题是一道经典的代数题。题目如下：
已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，求证：对于任意实数 \( x \)，都有 \( f(x) \geq 0 \)。
证明：
首先，我们求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
然后，令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
接下来，我们分析 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 附近的单调性：
- 当 \( x < 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增；
- 当 \( 1 < x < 3 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减；
- 当 \( x > 3 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增。
因此，\( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 分别是函数 \( f(x) \) 的极大值点和极小值点。
计算 \( f(1) \) 和 \( f(3) \) 的值：
\[ f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5 \]
\[ f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = 1 \]
由于 \( f(1) > 0 \) 且 \( f(3) = 0 \)，且 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 之间单调递减，因此对于任意实数 \( x \)，都有 \( f(x) \geq 0 \)。
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