考研数学一中，求曲面面积的解题思路如下：
1. 确定曲面方程：首先，需要确定曲面的方程。曲面可以是隐函数形式，也可以是参数方程形式。
2. 计算曲面法向量：接着，根据曲面的方程求出其法向量。对于隐函数形式的曲面，可以使用隐函数求导法；对于参数方程形式的曲面，则需要求出对应参数的偏导数。
3. 确定曲面参数范围：找出曲面的参数范围，这个范围决定了曲面在空间中的具体形状。
4. 计算曲面元素长度：根据法向量和曲面元素长度公式，求出曲面元素的长度。公式为：\[ \mathrm{d}S = \sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 + 1}\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \]，或者对于参数方程形式的曲面，为：\[ \mathrm{d}S = \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)^2}\, \mathrm{d}t \]
5. 计算曲面面积：最后，根据曲面的参数范围，对曲面元素长度进行积分，求出曲面的总面积。
示例：
已知曲面方程为 \( z = x^2 + y^2 \)，求曲面的面积。
解：首先，求出曲面的法向量：\[ \mathbf{n} = \left(2x, 2y, -1\right) \]。
然后，确定参数范围。由于 \( z = x^2 + y^2 \) 是一个圆，参数范围是 \( x \in [-1, 1], y \in [-\sqrt{1-x^2}, \sqrt{1-x^2}] \)。
接着，计算曲面元素长度：\[ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2}\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \]。
最后，对曲面元素长度进行积分：\[ S = \iint\limits_D \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \]。
利用极坐标变换，可以将积分转化为 \( x \) 和 \( y \) 的积分，进而计算出曲面的面积。
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