在考研数学二中，简答题往往考查考生对基本概念、定理的理解和运用能力。以下是一例简答题：
题目： 证明若函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，且 \( f(a) = f(b) \)，则存在至少一点 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
解答：
由题意知，函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，根据闭区间连续函数的性质，\( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上必定存在最大值和最小值。不妨设 \( M \) 和 \( m \) 分别为 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上的最大值和最小值，且 \( M \geq m \)。
情况一：若 \( M = m \)，则 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上恒等于常数，此时 \( f'(x) = 0 \) 对所有 \( x \in [a, b] \) 成立，故存在无数个 \( \xi \in (a, b) \) 满足 \( f'(\xi) = 0 \)。
情况二：若 \( M > m \)，则存在 \( \xi_1, \xi_2 \in (a, b) \) 使得 \( f(\xi_1) = M \) 和 \( f(\xi_2) = m \)。根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (\xi_1, \xi_2) \subset (a, b) \) 使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
综上，无论哪种情况，都存在至少一点 \( \xi \in (a, b) \) 使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
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