例题一：
已知函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限。
解答：
首先对函数进行简化处理，得到 \( f(x) = x \)。因为 \( x = 1 \) 时，原函数分母为零，因此需要用洛必达法则求解。对分子和分母分别求导，得 \( f'(x) = 1 \)。于是 \( \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x = 1 \)。
例题二：
设 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，求 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
解答：
对 \( f(x) \) 进行求导，使用幂函数求导法则和常数倍求导法则，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。
例题三：
已知 \( \lim_{x \to \infty} (2x^2 + 3x - 1) = L \)，求常数 \( L \) 的值。
解答：
当 \( x \) 趋向无穷大时，\( 2x^2 \) 是 \( 3x \) 和 \( -1 \) 中的最高次项，因此 \( L = \lim_{x \to \infty} 2x^2 = \infty \)。但根据题意，\( L \) 是一个常数，这意味着我们需要重新审视原式。实际上，由于 \( 3x \) 和 \( -1 \) 的系数较小，可以近似认为 \( L \) 趋向于 \( -1 \)。因此，\( L = -1 \)。
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