在探索数学一考研题目的过程中，我们往往会遇到各种复杂且富有挑战性的问题。以下是一道典型的数学一考研题目及其答案：
题目： 设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \)，求其在区间 \([-1, 1]\) 上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求导数： 首先求出函数的导数 \( f'(x) \)。
\[ f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(x^2 - 1) - (x^3 - 3x)(2x)}{(x^2 - 1)^2} \]
2. 求临界点： 令 \( f'(x) = 0 \)，解得临界点。
\[ 3x^4 - 3x^2 - 3x^2 + 3 - 2x^4 + 6x^2 = 0 \]
\[ x^4 + 6x^2 - 3 = 0 \]
\[ (x^2 + 3)(x^2 - 1) = 0 \]
\[ x = \pm 1, \pm \sqrt{3} \]
在区间 \([-1, 1]\) 内，只有 \( x = 1 \) 和 \( x = -\sqrt{3} \) 是临界点。
3. 端点值： 计算 \( f(-1) \) 和 \( f(1) \) 的值。
\[ f(-1) = \frac{(-1)^3 - 3(-1)}{(-1)^2 - 1} = -2 \]
\[ f(1) = \frac{1^3 - 3(1)}{1^2 - 1} = \text{未定义} \]
4. 比较值： 比较 \( f(-\sqrt{3}) \) 和 \( f(1) \) 的值。
\[ f(-\sqrt{3}) = \frac{(-\sqrt{3})^3 - 3(-\sqrt{3})}{(-\sqrt{3})^2 - 1} = 0 \]
答案： 在区间 \([-1, 1]\) 上，函数 \( f(x) \) 的最大值为 0，最小值为 -2。
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