在考研数学中，一元积分难题往往涉及复杂的函数形式和技巧。以下是一例典型难题：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)，求 \( \int_0^{\infty} f(x) \ln(1+x) \, dx \)。
解题步骤：
1. 凑微分：首先，注意到 \( \ln(1+x) \) 的微分是 \( \frac{1}{1+x} \, dx \)，因此原积分可以转化为 \( \int_0^{\infty} \frac{\ln(1+x)}{\sqrt{1+x^2}} \, dx \)。
2. 换元积分：令 \( u = 1+x \)，则 \( du = dx \)，当 \( x \) 从 0 到 \( \infty \) 变化时，\( u \) 从 1 到 \( \infty \) 变化。积分变为 \( \int_1^{\infty} \frac{\ln u}{\sqrt{u}} \, du \)。
3. 分部积分：对 \( \int_1^{\infty} \frac{\ln u}{\sqrt{u}} \, du \) 进行分部积分，设 \( v = \ln u \)，\( dw = \frac{1}{\sqrt{u}} \, du \)，则 \( dv = \frac{1}{u} \, du \)，\( w = 2\sqrt{u} \)。分部积分后得到 \( 2\sqrt{u}\ln u \bigg|_1^{\infty} - 2\int_1^{\infty} \sqrt{u} \, du \)。
4. 计算极限：由于 \( \ln u \) 在 \( u \to \infty \) 时趋于无穷大，因此 \( 2\sqrt{u}\ln u \bigg|_1^{\infty} \) 趋于无穷大。但注意到 \( \int_1^{\infty} \sqrt{u} \, du \) 是一个收敛的积分，因此整个表达式收敛。
5. 计算结果：计算 \( \int_1^{\infty} \sqrt{u} \, du \) 得到 \( \frac{2}{3}u^{3/2} \bigg|_1^{\infty} = \frac{2}{3}(\infty^3/2 - 1^3/2) = \infty - \frac{1}{3} = \infty \)。但由于前面的分部积分中有一个负号，最终结果是 \( -\frac{1}{3} \)。
结论：\( \int_0^{\infty} f(x) \ln(1+x) \, dx = -\frac{1}{3} \)。
【考研刷题通】——你的考研刷题利器，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，随时随地刷题，助你高效备考，轻松应对考研挑战！立即加入，开启你的考研刷题之旅！