一元积分，作为考研数学的重要组成部分，往往考验着考生的计算能力和对积分技巧的掌握。以下是一道具有挑战性的考研数学一元积分难题：
题目：已知函数$f(x) = x^3e^{-x^2}$，求积分$\int_0^{\infty} f(x) \, dx$。
解题思路如下：
1. 利用分部积分法，设$u = x^3$，$dv = e^{-x^2} \, dx$，则$du = 3x^2 \, dx$，$v = -\frac{1}{2}e^{-x^2}$。
2. 根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，计算得到：
$$\int_0^{\infty} x^3e^{-x^2} \, dx = -\frac{1}{2}x^3e^{-x^2}\bigg|_0^{\infty} + \frac{3}{2}\int_0^{\infty} x^2e^{-x^2} \, dx.$$
3. 注意到当$x \rightarrow \infty$时，$x^3e^{-x^2} \rightarrow 0$，因此$-\frac{1}{2}x^3e^{-x^2}\bigg|_0^{\infty} = 0$。
4. 再次利用分部积分法，设$u = x^2$，$dv = e^{-x^2} \, dx$，则$du = 2x \, dx$，$v = -\frac{1}{2}e^{-x^2}$。
5. 根据分部积分公式，计算得到：
$$\int_0^{\infty} x^2e^{-x^2} \, dx = -\frac{1}{2}x^2e^{-x^2}\bigg|_0^{\infty} + \int_0^{\infty} xe^{-x^2} \, dx.$$
6. 同样地，当$x \rightarrow \infty$时，$x^2e^{-x^2} \rightarrow 0$，因此$-\frac{1}{2}x^2e^{-x^2}\bigg|_0^{\infty} = 0$。
7. 此时，积分$\int_0^{\infty} xe^{-x^2} \, dx$可以转化为$\frac{1}{2}\int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx$。
8. 最后，利用高斯积分公式$\int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，得到：
$$\int_0^{\infty} x^2e^{-x^2} \, dx = \frac{1}{2}\int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4}.$$
9. 综上所述，原积分$\int_0^{\infty} f(x) \, dx = \frac{3}{2}\int_0^{\infty} x^2e^{-x^2} \, dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \frac{3\sqrt{\pi}}{8}$。
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