在备战考研数学三的过程中，以下是一些关键公式，务必熟记于心：
1. 高斯消元法：用于解线性方程组，将增广矩阵通过行变换化为行最简形矩阵，从而求解未知数。
2. 矩阵求逆：对于可逆矩阵，存在唯一逆矩阵，其计算公式为 $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)$。
3. 多元函数求偏导数：对 $z = f(x, y)$，偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 分别表示为 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}$。
4. 多元函数求全微分：$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。
5. 柯西中值定理：若函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，在开区域 $D$ 内可偏导，则存在 $(\xi, \eta) \in D$，使得 $\frac{f(x, y) - f(a, b)}{x - a} = f_x'(\xi, \eta)$，$\frac{f(x, y) - f(a, b)}{y - b} = f_y'(\xi, \eta)$。
6. 拉格朗日中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$。
7. 矩阵的行列式：$|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + \cdots + a_{1n}A_{1n}$，其中 $A_{ij}$ 表示去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后的子矩阵的行列式。
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