在备战数学考研数一的过程中，一份高质量的测试卷是检验学习成果的绝佳工具。以下是一份原创的数学考研数一测试卷，旨在帮助考生全面检验自己的数学能力。
一、选择题（每题5分，共50分）
1. 若函数$f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$，则$f'(x)$的值是：
A. $-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$
B. $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
C. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$
D. $-\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
2. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，则数列的前10项之和为：
A. $1023$
B. $1024$
C. $2047$
D. $2048$
3. 设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$的值是：
A. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$
4. 已知函数$y = e^x + \ln x$，则$y'$的值是：
A. $e^x + \frac{1}{x}$
B. $e^x - \frac{1}{x}$
C. $e^x + \frac{1}{x^2}$
D. $e^x - \frac{1}{x^2}$
5. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(x)$的零点是：
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
二、填空题（每题10分，共40分）
6. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$的值是______。
7. 设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^2$的值是______。
8. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 3^n - 1$，则数列的第10项是______。
9. 设函数$f(x) = e^x + \ln x$，则$f''(x)$的值是______。
10. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f''(x)$的零点是______。
三、解答题（每题20分，共60分）
11. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
12. 求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的导数。
13. 求矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的逆矩阵。
14. 求函数$f(x) = e^x + \ln x$的二阶导数。
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