关键词：考研数学，线性代数，例题
解题过程如下：
例题：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
首先，我们需要求解特征值。特征值满足方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算 \( A - \lambda I \)：
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{bmatrix} \]
接下来，计算行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda + 2 \]
解特征值方程 \( \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \) 得到：
\[ \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 3 \]
接下来，求解特征向量。对于每个特征值，我们需要解线性方程组 \( (A - \lambda I)X = 0 \)。
对于 \( \lambda_1 = 2 \)：
\[ \begin{bmatrix} 1 - 2 & 2 \\ 3 & 4 - 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
从这个方程组中，我们可以得到特征向量 \( X_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 3 \)：
\[ \begin{bmatrix} 1 - 3 & 2 \\ 3 & 4 - 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
从这个方程组中，我们可以得到特征向量 \( X_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)。
综上所述，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_1 = 2 \) 和 \( \lambda_2 = 3 \)，对应的特征向量分别为 \( X_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( X_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)。
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