在数学领域，证明e（自然对数的底数）是无理数是一个经典的难题。以下是该证明的简要概述：
假设e是有理数，则可以表示为e = p/q，其中p和q是互质的正整数。接下来，我们利用泰勒级数展开e^x：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + ...
取x=1，得到：
e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ...
现在，我们考虑e的平方：
e^2 = (1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ...)^2
展开后，我们可以看到e^2的展开式中，除了首项和末项外，其余项都可以表示为两个有理数的乘积。因此，e^2是有理数。
接下来，我们计算e^2 - e：
e^2 - e = (1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ...)^2 - (1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ...)
= (1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ...)(1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ...) - (1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ...)
= 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ... + 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ... - 1 - 1 - 1/2! - 1/3! - ... - 1/n!
= 2 + 2/2! + 2/3! + ... + 2/n! + ...
由于2 + 2/2! + 2/3! + ... + 2/n! + ...可以表示为有理数，因此e^2 - e也是有理数。
然而，我们知道e^2 - e = e(e - 1)，这意味着e(e - 1)也是有理数。由于e和e - 1不相等（因为如果它们相等，那么e = 1，这与e是无理数的假设矛盾），我们可以得出结论：e和e - 1中至少有一个是无理数。
因此，如果e是有理数，那么e - 1也必须是有理数，这将导致e(e - 1)是有理数，这与我们的假设矛盾。因此，我们的假设不成立，e必须是无理数。
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