证明数学中的自然对数的底e是无理数，我们可以采用反证法。假设e是一个有理数，则可以表示为两个互质的正整数p和q的比值，即e = p/q，其中p和q没有公因数。
根据泰勒级数展开，e可以表示为：
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ...
我们将e的展开式乘以q!，得到：
q!e = q! + q + q/2! + q/3! + ... + q/n! + ...
注意到，从第二项开始，每一项都是q乘以1/(k!)，其中k是正整数。因为q是整数，所以q/1!，q/2!，...，q/n!也都是整数。
现在，我们可以将q!e的展开式与q! + q + q/2! + q/3! + ... + q/n! + ...进行比较，得到：
q!e - q! = q + q/2! + q/3! + ... + q/n! + ...
因为q!e - q!是整数，所以q + q/2! + q/3! + ... + q/n! + ...也必须是整数。这意味着，无穷级数q + q/2! + q/3! + ...的和是一个整数。
然而，根据数学分析，我们知道级数q + q/2! + q/3! + ... + q/n! + ...的和实际上等于e - 1，这个值是小于1的正数，且不是整数。因此，我们得到了一个矛盾。
由于假设e是有理数导致了矛盾，所以原假设不成立。因此，我们可以得出结论：e是一个无理数。
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