洛必达法则在考研数学中是一个重要的极限求解工具，它主要用于求解“0/0”或“∞/∞”型不定式极限。以下是洛必达法则的证明过程：
设函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在点 \( x = a \) 的某去心邻域内可导，且 \( g'(x) \neq 0 \)。若 \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) 且 \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \)，则有：
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]
证明：
由于 \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) 且 \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \)，则 \( \frac{f(x)}{g(x)} \) 形成不定式“0/0”。根据洛必达法则，可以对分子和分母同时求导，得到：
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]
若 \( \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) 仍为“0/0”或“∞/∞”型不定式，则可继续应用洛必达法则。重复此过程，直到得到一个可求极限。
需要注意的是，洛必达法则仅适用于“0/0”或“∞/∞”型不定式，对于其他类型的不定式，如“∞-∞”、“0×∞”等，不能直接使用洛必达法则。
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